By Jan Draisma

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Dann gibt es in K eine primitive d-te Potenzwurzel ζ von 1, also eine Zahl, die die Gruppe µd := {x ∈ K ∗ | xd = 1} der Ordnung d erzeugt. Die Gruppe µd ist eine diagonalisierbare Gruppe, und X(µd ) ist isomorph zu Z/dZ, denn sie wird erzeugt vom Charakter χ : µm → K ∗ , ζ i → ζ i . 33. Sind G, H algebraische Gruppen, so gilt X(G) × X(H) ∼ = X(G × H). Beweis. Seien πG , πH die Projektionen von G × H auf G bzw. H und seien iG , iH die Abbildungen G → G × H, g → (g, e) und H → G × H, h → (e, h). Dann ist die Abbildung X(G) × X(H) → X(G × H), (χG , χH ) → (χG ◦ πG ) · (χH ◦ πH ) ein Gruppenisomorphismus mit Inverse X(G × H) → X(G) × X(H), χ → (χ ◦ iG , χ ◦ iH ).

1) Sei G = SL(V ) ⊆ GL(V ). Das Ideal V (G) in O(GL(V )) wird erzeugt von det −1. Mit dem -Trick findet man, dass der Tangentialraum zu SL(V ) in I aus allen A ∈ TI GL(V ) = End(V ) besteht, wof¨ ur det(I + A) ≡ 1 mod 2 . Der Koeffizient von im Polynom det(I + A) ist die Spur tr A, also ist L(SL(V )) = {A ∈ End(V ) | tr A = 0}; bemerke, dass dieser Raum tats¨achlich abgeschlossen unter dem Kommutator ist. (2) Sei char K = 2 und G = On = {g ∈ GLn | g t g = I}. Mit dem -Trick finden wir, dass jedes A ∈ L(G) folgende Eigenschaft haben muss: (I + A)t (I + A) ≡ I mod 2 .

N (g)) f¨ ur g ∈ Tn . Die Abbildung φ : Zn → X(Tn ), (a1 , . . , an ) → χa1 1 · · · χann ist ein injektiver Homomorphismus abelscher Gruppen. Da die Funktionen auf der rechten Seite schon die Algebra O(G) aufspannen, kann es nach dem Lemma von Dedekind keine weitere Charaktere geben. Also ist φ ein Isomorphismus (abstrakter) abelscher Gruppen. 31. Nehme an, dass K positiver Charakteristik p hat, und sei G eine algebraische Gruppe. Dann hat X(G) keine p-Torsion, das heisst: es gibt kein Element χ ∈ X(G) \ {1} mit χp = 1.