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By Rolf Klein

Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen n?chsten Nachbarn? Wie l?sst sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung? Mit solchen und ?hnlichen Fragen besch?ftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen st?rmischen Verlauf genommen hat. Dieses Lehrbuch gibt eine Einf?hrung in h?ufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe H?lle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie h?herdimensionale Datenstrukturen. Die vorliegende zweite Auflage wurde gr?ndlich ?berarbeitet. Sie enth?lt ?ber 60 ?bungsaufgaben mit L?sungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die M?glichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.

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Vor diesem Hintergrund wird klar, daß die Ermittlung Prognosen optimal vs. praktikabel 33 34 Kapitel 1 Grundlagen praktische Konsequenzen mittlere Kosten randomisierter Algorithmus deterministischer Algorithmus der genauen Komplexit¨at eines Problems nicht Theorie um ihrer selbst willen ist, sondern zu konkreten Verbesserungen in der Praxis f¨ uhren kann. Bei der Definition von TA (n) und SA (n) hatten wir den worst case vor Augen, der sich f¨ ur die schlimmstm¨oglichen Problembeispiele der Gr¨ oße n ergeben kann.

15 (i). Die Gerade B(p, q) muß durch den Mittelpunkt m = 12 (p + q) von pq laufen; wir machen daher den Ansatz B(p, q) = {m + al; a ∈ IR} f¨ ur die parametrisierte Darstellung, wobei der Vektor l = (l1 , l2 ) noch zu bestimmen ist. Weil l auf pq senkrecht steht, muß f¨ ur das Skalarprodukt gelten l1 (q1 − p1 ) + l2 (q2 − p2 ) = 0. Vermeidung unn¨ otiger Berechnungen Bisektor 25 26 Kapitel 1 Grundlagen Es mag naheliegend erscheinen, nun l1 = 1 und l2 = p1 − q1 q2 − p2 in die Darstellung von B(p, q) einzusetzen.

2 (i) Reflexivit¨ at: F¨ ur jedes a ∈ A gilt a ∼ a, weil sich a u ¨ ber den konstanten Weg mit Parametrisierung f (t) = a mit a verbinden l¨ aßt. Symmetrie: Aus a ∼ b folgt b ∼ a, weil sich die Durchlaufrichtung eines durch f parametrisierten Weges von a nach b durch die Parametrisierung g(t) = f (1 − t) umkehren l¨aßt. Transitivit¨ at: Gelte a ∼ b und b ∼ c mit Wegen w und v, die durch f : [0, 1] −→ M, f (0) = a, f (1) = b g : [0, 1] −→ M, g(0) = b, g(1) = c parametrisiert sind. Dann ist die Verkettung von w und v ein Weg von a nach c, der ganz in A verl¨ auft.

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